Un punto en el dominio de definición X de una función f: X → Y, donde X e Y son espacios topológicos, en los que esta función no es continua. A veces, los puntos que, aunque no pertenecen al dominio de definición de la función, tienen ciertos entornos perforados que pertenecen a este dominio también se consideran puntos de discontinuidad, si la función no tiene límites finitos (ver más abajo) en este punto.
Entre los puntos de discontinuidad de una función, definidos en entornos perforados de puntos en el eje real, se distinguen puntos del primer y segundo tipo. Si un punto x0 es un punto de discontinuidad de una función f que se define en un determinado entorno de este punto, excepto quizás en el punto mismo, y si existen límites finitos desde la izquierda f (x0−0) y desde la derecha f (x0 + 0) para f (en un entorno perforado de x0), entonces este punto se llama punto de discontinuidad del primer tipo y el número f (x0 + 0) −f (x0−0) se llama salto de f en x0. Si además este salto es cero, entonces uno dice que x0 es un punto de discontinuidad evitable. Si el punto de discontinuidad no es del primer tipo, entonces es un punto de discontinuidad del segundo tipo.
Comentarios El conjunto de puntos de discontinuidad de una función f: X → R, X un espacio topológico, siempre es una unión contable de conjuntos cerrados (y una unión contable de conjuntos cerrados es el conjunto de puntos de discontinuidad de una función con valor real si X es Hausdorff, cf. espacio de Hausdorff). Este hecho está relacionado con el teorema de Baire. Cf. también clases de Baire y [Ch].
Un punto de discontinuidad del primer tipo (respectivamente, segundo) también se denomina punto de salto (respectivamente, una discontinuidad oscilatoria). Las funciones definidas en un intervalo de R y libres de discontinuidades oscilatorias se usan intensamente en la teoría de los procesos estocásticos (cf. Proceso estocástico), donde a menudo se les llama, después del francés, funciones làglàd, (respectivamente, funciones càglàd) si son derecha (respectivamente, izquierda) continua.
Referencias [Ch] G. Choquet, “Outils topologiques et métriques de l’analyse mathématique”, Centre Docum. Univ. París (1969) (Rédigé par C. Mayer). [Buey] J.C. Oxtoby, “Medida y categoría”, Springer (1971).
Artículo tomado de https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Discontinuity_point